Упр.16.19 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

О числах $$x$$, $$y$$ и $$z$$ известно, что $$(x+y+z)-3(xy+xz+yz)+9xyz=\frac{1}{3}$$. Докажите, что по крайней мере одно из этих чисел равно $$\frac{1}{3}$$.

Обозначим

$$p=x+y+z,\quad q=xy+xz+yz,\quad r=xyz.$$

Тогда данное условие можно записать так:

$$p-3q+9r=\frac13.$$

Рассмотрим многочлен, корнями которого являются числа $$x,\ y,\ z$$:

$$t^3-pt^2+qt-r=0.$$

Подставим в него $$t=\frac13$$:

$$\left(\frac13\right)^3-p\left(\frac13\right)^2+q\left(\frac13\right)-r=0.$$

Умножим на $$27$$:

$$1-3p+9q-27r=0.$$

Перепишем:

$$p-3q+9r=\frac13.$$

Это совпадает с данным условием. Значит, число $$\frac13$$ является корнем многочлена

$$t^3-pt^2+qt-r=0.$$

Следовательно, по крайней мере одно из чисел $$x,\ y,\ z$$ равно $$\frac13$$.

Ответ

По крайней мере одно из чисел $$x,\ y,\ z$$ равно $$\frac13$$.