Упр.16.19 ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Полонский 11 класс, Просвещение: 16.19. Для всех x?R и n?N докажите неравенство (1+x)^n+(1-x)^n?2.

Подробный ответ

Раскроем скобки по формуле бинома Ньютона:

$$ (1+x)^n=1+C_n^1x+C_n^2x^2+\dots+C_n^{n-1}x^{n-1}+x^n, $$
$$ (1-x)^n=1-C_n^1x+C_n^2x^2-\dots+(-1)^{n-1}C_n^{n-1}x^{n-1}+(-1)^nx^n. $$

Сложим эти выражения. Нечётные степени $x$ взаимно уничтожаются, а при чётных степенях коэффициенты удваиваются:

$$ (1+x)^n+(1-x)^n=2\left(1+C_n^2x^2+C_n^4x^4+\dots\right). $$

Все слагаемые в скобках неотрицательны, так как для любого $x \in \mathbb{R}$ чётные степени $x$ неотрицательны, а биномиальные коэффициенты положительны. Значит,

$$ (1+x)^n+(1-x)^n \ge 2. $$

Что и требовалось доказать.