Упр.16.18 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

О действительных числах $$x$$, $$y$$ и $$z$$ известно, что $$x+y+z$$, $$xy+xz+yz$$ и $$xyz$$ — рациональные числа. Можно ли гарантировать, что среди чисел $$x$$, $$y$$ и $$z$$ есть рациональные?

Подробный ответ

Рассмотрим многочлен

$$t^3-(x+y+z)t^2+(xy+xz+yz)t-xyz=0.$$

По условию его коэффициенты рациональны. Значит, можно подобрать такие рациональные значения суммы, суммы попарных произведений и произведения, при которых корни этого многочлена не будут рациональными.

Например, возьмём

$$x+y+z=5,\quad xy+xz+yz=1,\quad xyz=-4.$$

Тогда числа $$x$$, $$y$$, $$z$$ являются корнями уравнения

$$t^3-5t^2+t+4=0.$$

Разложим многочлен на множители:

$$t^3-5t^2+t+4=(t-4)(t^2-t-1).$$

Отсюда

$$t=4,\quad t=\frac{1-\sqrt5}{2},\quad t=\frac{1+\sqrt5}{2}.$$

Два корня иррациональны, хотя все три выражения $$x+y+z$$, $$xy+xz+yz$$ и $$xyz$$ рациональны.

Следовательно, гарантировать наличие рационального числа среди $$x$$, $$y$$, $$z$$ нельзя.