Упр.16.18 ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

1. Найдите количество нулей в конце десятичной записи значения выражения $$999^{1001}+1$$.

Представим число $$999$$ в виде $$1000-1$$:

$$999^{1001}+1=999\cdot(1000-1)^{1000}+1.$$

По биному Ньютона:

$$(1000-1)^{1000}=1000^{1000}-C_{1000}^{1}1000^{999}+\dots-C_{1000}^{999}1000+1.$$

Тогда

$$999^{1001}+1=999\bigl(1000^{1000}-C_{1000}^{1}1000^{999}+\dots-C_{1000}^{999}1000+1\bigr)+1.$$

После умножения на $$999$$ и прибавления $$1$$ получаем число, оканчивающееся на $$1000$$, то есть на три нуля.

Ответ

3