Упр.16.15 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 16.15. Известно, что число z=1+i является корнем уравнения z^4-5z^3+13z^2-16z+10=0. Решите это уравнение.

Так как число $$z=1+i$$ является корнем уравнения с действительными коэффициентами, то сопряжённое число $$z=1-i$$ тоже является корнем.

Тогда уравнение имеет множитель

$$ (z-(1+i))(z-(1-i))=0 $$

или

$$ (z-1-i)(z-1+i)=0 $$

$$ (z-1)^2-i^2=0 $$

$$ z^2-2z+1+1=0 $$

$$ z^2-2z+2=0. $$

Разделим многочлен $$z^4-5z^3+13z^2-16z+10$$ на $$z^2-2z+2$$. Получим:

$$ z^4-5z^3+13z^2-16z+10=(z^2-2z+2)(z^2-3z+5). $$

Тогда уравнение сводится к системе двух квадратных уравнений:

$$ (z^2-2z+2)(z^2-3z+5)=0. $$

Решим каждое из них.

1) $$z^2-2z+2=0$$

$$ D=(-2)^2-4\cdot 1\cdot 2=4-8=-4, $$

$$ z=\frac{2\pm \sqrt{-4}}{2}=1\pm i. $$

2) $$z^2-3z+5=0$$

$$ D=3^2-4\cdot 1\cdot 5=9-20=-11, $$

$$ z=\frac{3\pm \sqrt{-11}}{2}=\frac{3\pm i\sqrt{11}}{2}. $$

Ответ

$$1+i,\;1-i,\;\frac{3+i\sqrt{11}}{2},\;\frac{3-i\sqrt{11}}{2}$$