Упр.16.15 ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

1. В выражении $$\left(vx+\frac{1}{x^{1/4}}\right)^{22}$$ раскрыли скобки по формуле бинома Ньютона. Какой член разложения можно представить в виде $$cx^2$$, где $$c$$ — некоторое число?

Общий член разложения бинома

$$\left(\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt[4]{x}}\right)^{22}$$

имеет вид

$$C_{22}^n\left(\sqrt{x}\right)^{22-n}\left(\frac{1}{\sqrt[4]{x}}\right)^n.$$

Преобразуем степень при $$x$$:

$$\left(\sqrt{x}\right)^{22-n}=x^{\frac{22-n}{2}}, \qquad \left(\frac{1}{\sqrt[4]{x}}\right)^n=x^{-\frac{n}{4}}.$$

Тогда общий член равен

$$C_{22}^n x^{\frac{22-n}{2}-\frac{n}{4}}.$$

Нужно, чтобы этот член имел вид $$cx^2$$, значит показатель степени при $$x$$ должен быть равен $$2$$:

$$\frac{22-n}{2}-\frac{n}{4}=2.$$

Умножим на $$4$$:

$$2(22-n)-n=8$$

$$44-2n-n=8$$

$$44-3n=8$$

$$3n=36$$

$$n=12.$$

Следовательно, искомым является член разложения при $$n=12$$, то есть $$13$$-й член.

Ответ

Тринадцатый член.