Упр.16.15 ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Полонский 11 класс, Просвещение: 16.15. В выражении (vx+1/x^(1/4))^22 раскрыли скобки по формуле бинома Ньютона. Какой член разложения можно представить в виде cx^2, где с — некоторое число?

Общий член разложения бинома

$$\left(\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt[4]{x}}\right)^{22}$$

имеет вид

$$C_{22}^n\left(\sqrt{x}\right)^{22-n}\left(\frac{1}{\sqrt[4]{x}}\right)^n.$$

Преобразуем степень при $x$:

$$\left(\sqrt{x}\right)^{22-n}=x^{\frac{22-n}{2}}, \qquad \left(\frac{1}{\sqrt[4]{x}}\right)^n=x^{-\frac{n}{4}}.$$

Тогда общий член равен

$$C_{22}^n x^{\frac{22-n}{2}-\frac{n}{4}}.$$

Нужно, чтобы этот член имел вид $cx^2$, значит показатель степени при $x$ должен быть равен $2$:

$$\frac{22-n}{2}-\frac{n}{4}=2.$$

Умножим на $4$:

$$2(22-n)-n=8$$

$$44-2n-n=8$$

$$44-3n=8$$

$$3n=36$$

$$n=12.$$

Следовательно, искомым является член разложения при $n=12$, то есть $13$-й член.

Ответ

Тринадцатый член.