Упр.16.13 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1. Найдите остаток от деления многочлена $$P(x)=x^{200}-x^{101}+5$$ на двучлен $$x^2+1$$.

При делении многочлена на двучлен $$x^2+1$$ остаток имеет вид $$ax+b$$, где $$a$$ и $$b$$ — числа.

Так как $$x^2+1=0,$$ то $$x^2=-1.$$ Тогда

$$x^{200}=(x^2)^{100}=(-1)^{100}=1,$$
$$x^{101}=x\cdot (x^2)^{50}=x\cdot (-1)^{50}=x.$$

Следовательно,

$$P(x)=x^{200}-x^{101}+5 \equiv 1-x+5=6-x \pmod{x^2+1}.$$

Значит, остаток от деления равен $$-x+6.$$

Ответ

$$-x+6$$