Упр.16.12 ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

Задача

В выражении $$(\sqrt{5}+\sqrt[3]{3})^{100}$$ раскрыли скобки по формуле бинома Ньютона. Какое количество полученных слагаемых являются рациональными числами?

Подробный ответ

Рассмотрим общий член разложения по формуле бинома Ньютона:

$$\binom{100}{k}(\sqrt{5})^{100-k}\left(\sqrt[3]{3}\right)^k.$$

Чтобы это слагаемое было рациональным, нужно, чтобы оба множителя с иррациональными числами дали рациональный результат.

1) Для корня $$\sqrt{5}$$ степень должна быть чётной:

$$100-k=2m.$$

2) Для корня $$\sqrt[3]{3}$$ степень должна быть кратна 3:

$$k=3n.$$

Значит, число $$k$$ должно одновременно делиться на $$3$$ и быть чётным, то есть делиться на $$6$$.

При этом $$0 \le k \le 100$$. Подходящие значения:

$$k=0,6,12,\dots,96.$$

Это арифметическая прогрессия с первым членом $$0$$, последним $$96$$ и разностью $$6$$. Количество членов: