Упр.16.10 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1. Решите уравнение $$1+z+z^2+z^3+z^4+z^4+z^6=0$$.

Рассмотрим уравнение

$$1+z+z^2+z^3+z^4+z^5+z^6=0.$$

Это сумма геометрической прогрессии. Умножим обе части на $$1-z$$:

$$(1-z)(1+z+z^2+z^3+z^4+z^5+z^6)=1-z^7=0.$$

Следовательно,

$$z^7=1.$$

Корни этого уравнения — седьмые корни из единицы:

$$z=\cos \frac{2\pi k}{7}+i\sin \frac{2\pi k}{7}, \quad k=0,1,2,3,4,5,6.$$

Но при $$z=1$$ исходное уравнение не выполняется, так как

$$1+1+1+1+1+1+1=7\ne 0.$$

Значит, этот корень нужно исключить.

Ответ

$$z=\cos \frac{2\pi k}{7}+i\sin \frac{2\pi k}{7}, \quad k=1,2,3,4,5,6.$$