Упр.16.1 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Решите уравнение:

1. $$z^2+8z+25=0$$;
2. $$z^2-3z+11-3i=0$$;
3. $$z^2-(3-2i)z+10=0$$;
4. $$z^2+(i-5)z+8-i=0$$.

1. $$z^2+8z+25=0$$

   Найдём дискриминант:

   $$D=8^2-4\cdot 25=64-100=-36=(6i)^2$$

   Тогда

   $$z=\frac{-8\pm 6i}{2}=-4\pm 3i$$

2. $$z^2-(3-2i)z+10=0$$

   $$D=(3-2i)^2-4\cdot 10=9-12i-4-40=-35-12i$$

   $$D=1-12i-36=(1-6i)^2$$

   Тогда

   $$z_{1,2}=\frac{(3-2i)\pm (1-6i)}{2}$$

   $$z_1=\frac{(3-2i)-(1-6i)}{2}=\frac{2+4i}{2}=1+2i$$

   $$z_2=\frac{(3-2i)+(1-6i)}{2}=\frac{4-8i}{2}=2-4i$$

3. $$z^2-3z+11-3i=0$$

   $$D=3^2-4(11-3i)=9-44+12i=-35+12i$$

   $$D=1+12i-36=(1+6i)^2$$

   Тогда

   $$z_{1,2}=\frac{3\pm (1+6i)}{2}$$

   $$z_1=\frac{3-(1+6i)}{2}=\frac{2-6i}{2}=1-3i$$

   $$z_2=\frac{3+(1+6i)}{2}=\frac{4+6i}{2}=2+3i$$

4. $$z^2+(i-5)z+8-i=0$$

   $$D=(i-5)^2-4(8-i)=-1-10i+25-32+4i=-8-6i$$

   $$D=1-6i-9=(1-3i)^2$$

   Тогда

   $$z_{1,2}=\frac{-(i-5)\pm (1-3i)}{2}=\frac{(5-i)\pm (1-3i)}{2}$$

   $$z_1=\frac{(5-i)+(1-3i)}{2}=\frac{6-4i}{2}=3-2i$$

   $$z_2=\frac{(5-i)-(1-3i)}{2}=\frac{4+2i}{2}=2+i$$

Ответ

1) $$-4-3i,\,-4+3i$$; 2) $$1+2i,\;2-4i$$; 3) $$1-3i,\;2+3i$$; 4) $$2+i,\;3-2i$$.