Упр.15.6 ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

1) C(x, 2)=120; 3) C(x, x-2)=66;
2) C(x+2, 3)=7(x+2); 4) 11C(2x, x)=6C(2x+1, x+1).

1. $$C_x^2=120$$
   
   $$\frac{x!}{2!(x-2)!}=120,$$
   $$\frac{x(x-1)}{2}=120,$$
   $$x^2-x=240,$$
   $$x^2-x-240=0.$$
   
   $$D=1+4\cdot 240=961,$$
   $$x=\frac{1\pm 31}{2}.$$
   
   $$x_1=-15,\quad x_2=16.$$
   
   Так как $x$ — натуральное число, получаем $$x=16.$$
2. $$C_{x+2}^3=7(x+2)$$
   
   $$\frac{(x+2)!}{3!(x-1)!}=7(x+2),$$
   $$\frac{(x+2)(x+1)x}{6}=7(x+2).$$
   
   При натуральных $x$ число $x+2\neq 0$, поэтому сокращаем на $x+2$:
   $$\frac{x(x+1)}{6}=7,$$
   $$x(x+1)=42,$$
   $$x^2+x-42=0.$$
   
   $$D=1+168=169,$$
   $$x=\frac{-1\pm 13}{2}.$$
   
   $$x_1=-7,\quad x_2=6.$$
   
   Так как $x$ — натуральное число, получаем $$x=6.$$
3. $$C_x^{x-2}=66$$
   
   $$C_x^{x-2}=C_x^2,$$
   поэтому
   $$\frac{x!}{(x-2)!2!}=66,$$
   $$\frac{x(x-1)}{2}=66,$$
   $$x^2-x=132,$$
   $$x^2-x-132=0.$$
   
   $$D=1+528=529,$$
   $$x=\frac{1\pm 23}{2}.$$
   
   $$x_1=-11,\quad x_2=12.$$
   
   Так как $x$ — натуральное число, получаем $$x=12.$$
4. $$11C_{2x}^x=6C_{2x+1}^{x+1}$$
   
   $$11\cdot \frac{(2x)!}{x!\,x!}=6\cdot \frac{(2x+1)!}{(x+1)!\,x!}.$$
   
   Так как
   $$ (2x+1)!=(2x+1)(2x)!, \qquad (x+1)!=(x+1)x!, $$
   то
   $$11\cdot \frac{(2x)!}{x!\,x!}=6\cdot \frac{(2x+1)(2x)!}{(x+1)x!\,x!}.$$
   
   Сократим на $$\frac{(2x)!}{x!\,x!}$$:
   $$11=6\cdot \frac{2x+1}{x+1}.$$
   
   $$11(x+1)=6(2x+1),$$
   $$11x+11=12x+6,$$
   $$x=5.$$

Ответ

1) $$16$$; 2) $$6$$; 3) $$12$$; 4) $$5$$.