Упр.15.31 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 15.31. Известно, что треугольники АВС и A_1B_1C_1 — равносторонние (порядок вершин указан в направлении движения часовой стрелки). Середины отрезков AA_1, BB_1 и CC_1 являются вершинами треугольника. Докажите, что этот треугольник равносторонний.

Пусть точки $A, B, A_1, B_1$ имеют радиус-векторы соответственно $z_1, z_2, z_3, z_4$.

Обозначим середины отрезков $AA_1$ и $BB_1$ через $M$ и $N$, а середину отрезка $CC_1$ через $K$.

Тогда

$$ z_M=\frac{z_1+z_3}{2}, \qquad z_N=\frac{z_2+z_4}{2}. $$

Следовательно,

$$ \overrightarrow{MN}=z_N-z_M=\frac{z_2+z_4-z_1-z_3}{2}. $$

Так как треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ равносторонние и их вершины перечислены в одном направлении, то

$$ \overrightarrow{AC}=\left(\frac12+\frac{\sqrt3}{2}i\right)\overrightarrow{AB}. $$

Отсюда

$$ z_3-z_1=\left(\frac12+\frac{\sqrt3}{2}i\right)(z_2-z_1). $$

После преобразований получаем

$$ z_3=\frac12(z_1+z_2)+\frac{\sqrt3}{2}i\,(z_2-z_1). $$

Аналогично для треугольника $A_1B_1C_1$:

$$ z_1=\frac12(z_3+z_4)+\frac{\sqrt3}{2}i\,(z_4-z_3). $$

Тогда радиус-вектор точки $K$ — середины отрезка $CC_1$ — равен

$$ z_K=\frac14(z_1+z_2+z_3+z_4)+\frac{\sqrt3}{4}i\,(z_2+z_4-z_1-z_3). $$

Следовательно,

$$ \overrightarrow{MK}=z_K-z_M=\frac{(1+i\sqrt3)(z_2+z_4-z_1-z_3)}{4}. $$

Сравним векторы $\overrightarrow{MK}$ и $\overrightarrow{MN}$:

$$ \overrightarrow{MK}=\left(\frac12+\frac{\sqrt3}{2}i\right)\overrightarrow{MN}. $$

Значит, угол между ними равен $60^\circ$, а их длины равны:

$$ |\overrightarrow{MK}|=|\overrightarrow{MN}|. $$

Следовательно, треугольник $MKN$ равносторонний.

Ответ

Треугольник, вершинами которого являются середины отрезков $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$, равносторонний.