Упр.15.30 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 15.30. На прямой l взяты последовательно точки A, С и Е. На отрезках АС и СЕ в одной полуплоскости относительно прямой l построены равносторонние треугольники АВС и CDE. Точки К к М — середины отрезков AD и BE соответственно. Докажите, что треугольник СКМ равносторонний.
Обозначим радиус-векторы точек A, C, E через $$\vec A=z_1,\quad \vec C=z_2=az_1,\quad \vec E=z_3=bz_1.$$
Так как на отрезках $$AC$$ и $$CE$$ построены равносторонние треугольники в одной полуплоскости, то поворот на $$60^\circ$$ задаётся умножением на $$\frac12+\frac{\sqrt3}{2}i$$.
Тогда для точки D имеем
$$ \vec{CD}=\left(\frac12+\frac{\sqrt3}{2}i\right)\vec{CE}. $$
Следовательно,
$$ z_d-z_1=\left(\frac12+\frac{\sqrt3}{2}i\right)(bz_1-az_1), $$
откуда
$$ z_d=\frac12(a+b)z_1+\frac{i\sqrt3}{2}(b-a)z_1+z_1. $$
Так как K — середина отрезка $$AD$$, то
$$ z_k=\frac{z_a+z_d}{2} =\frac14(a+b+2)z_1+\frac{i\sqrt3}{4}(b-a)z_1. $$
Тогда
$$ \vec{CK}=z_k-z_2=\frac14(b-3a+2)z_1+\frac{i\sqrt3}{4}(b-a)z_1. $$
Аналогично для точки B:
$$ \vec{AB}=\left(\frac12+\frac{\sqrt3}{2}i\right)\vec{AC}. $$
Значит,
$$ z_b-z_1=\left(\frac12+\frac{\sqrt3}{2}i\right)(az_1-z_1), $$
откуда
$$ z_b=\frac12(a+1)z_1+\frac{i\sqrt3}{2}(a-1)z_1+z_1. $$
Так как M — середина отрезка $$BE$$, то
$$ z_m=\frac{z_b+z_e}{2} =\frac14(a+2b+1)z_1+\frac{i\sqrt3}{4}(a-1)z_1. $$
Следовательно,
$$ \vec{CM}=z_m-z_2=\frac14(2b-3a+1)z_1+\frac{i\sqrt3}{4}(a-1)z_1. $$
Теперь сравним векторы $$\vec{CK}$$ и $$\vec{CM}$$:
$$ \vec{CK}=\left(\frac12+\frac{\sqrt3}{2}i\right)\vec{CM}. $$
Значит, вектор $$\vec{CK}$$ получается из $$\vec{CM}$$ поворотом на $$60^\circ$$, поэтому
$$ \angle KCM=60^\circ,\qquad CK=CM. $$
Следовательно, треугольник $$CKM$$ равносторонний.
Ответ
Треугольник $$CKM$$ равносторонний.
