Упр.15.29 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

На прямой $$l$$ взяты последовательно точки $$A$$, $$B$$ и $$C$$, а на отрезках $$AB$$ и $$AC$$ в различных полуплоскостях относительно прямой $$l$$ построены равносторонние треугольники $$ABD$$ и $$ACN$$. Докажите, что середины $$K$$ и $$L$$ соответственно отрезков $$DC$$ и $$BN$$ и точка $$A$$ являются вершинами равностороннего треугольника.

Пусть точки на прямой $$l$$ заданы комплексными числами:

$$A=z_1,\quad B=z_2=az_1,\quad C=z_3=bz_1.$$

Так как треугольники $$ABD$$ и $$ACN$$ равносторонние и построены в различных полуплоскостях, то

$$\overrightarrow{BD}=\left(\frac12-\frac{\sqrt3}{2}i\right)\overrightarrow{BA},\qquad \overrightarrow{AN}=\left(\frac12-\frac{\sqrt3}{2}i\right)\overrightarrow{AC}.$$

Тогда для точки $$D$$ получаем:

$$z_d-z_1=\left(\frac12-\frac{\sqrt3}{2}i\right)(z_1-az_1),$$

откуда

$$z_d=\frac12(a+1)z_1+\frac{i\sqrt3}{2}(a-1)z_1.$$

Середина отрезка $$DC$$ имеет координату

$$z_k=\frac{z_d+z_3}{2} =\frac14(a+2b+1)z_1+\frac{i\sqrt3}{4}(a-1)z_1.$$

Аналогично для точки $$N$$:

$$z_n-z_1=\left(\frac12-\frac{\sqrt3}{2}i\right)(bz_1-z_1),$$

следовательно,

$$z_n=\frac12(b+1)z_1-\frac{i\sqrt3}{2}(b-1)z_1.$$

Середина отрезка $$BN$$ имеет координату

$$z_l=\frac{z_2+z_n}{2} =\frac14(b+2a+1)z_1-\frac{i\sqrt3}{4}(b-1)z_1.$$

Теперь найдём вектор $$\overrightarrow{AK}$$ и $$\overrightarrow{AL}$$:

$$\overrightarrow{AK}=z_k-z_1=\frac14(a+2b-3)z_1+\frac{i\sqrt3}{4}(a-1)z_1,$$

$$\overrightarrow{AL}=z_l-z_1=\frac14(b+2a-3)z_1-\frac{i\sqrt3}{4}(b-1)z_1.$$

Из этих выражений следует, что

$$\overrightarrow{AK}=\left(\frac12+\frac{\sqrt3}{2}i\right)\overrightarrow{AL}.$$

Значит, угол между векторами $$\overrightarrow{AK}$$ и $$\overrightarrow{AL}$$ равен $$60^\circ$$, а их длины равны:

$$|AK|=|AL|.$$

Следовательно, треугольник $$AKL$$ равносторонний.

Ответ

Точки $$A$$, $$K$$ и $$L$$ являются вершинами равностороннего треугольника.