Упр.15.29 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 15.29. На прямой l взяты последовательно точки А, В и С, а на отрезках АВ и АС в различных полуплоскостях относительно прямой l построены равносторонние треугольники ABD и ACN. Докажите, что середины К и L соответственно отрезков DC и BN и точка А являются вершинами равностороннего треугольника.
Пусть точки на прямой $$l$$ заданы комплексными числами:
$$A=z_1,\quad B=z_2=az_1,\quad C=z_3=bz_1.$$
Так как треугольники $$ABD$$ и $$ACN$$ равносторонние и построены в различных полуплоскостях, то
$$\overrightarrow{BD}=\left(\frac12-\frac{\sqrt3}{2}i\right)\overrightarrow{BA},\qquad \overrightarrow{AN}=\left(\frac12-\frac{\sqrt3}{2}i\right)\overrightarrow{AC}.$$
Тогда для точки $$D$$ получаем:
$$ z_d-z_1=\left(\frac12-\frac{\sqrt3}{2}i\right)(z_1-az_1), $$
откуда
$$ z_d=\frac12(a+1)z_1+\frac{i\sqrt3}{2}(a-1)z_1. $$
Середина отрезка $$DC$$ имеет координату
$$ z_k=\frac{z_d+z_3}{2} =\frac14(a+2b+1)z_1+\frac{i\sqrt3}{4}(a-1)z_1. $$
Аналогично для точки $$N$$:
$$ z_n-z_1=\left(\frac12-\frac{\sqrt3}{2}i\right)(bz_1-z_1), $$
следовательно,
$$ z_n=\frac12(b+1)z_1-\frac{i\sqrt3}{2}(b-1)z_1. $$
Середина отрезка $$BN$$ имеет координату
$$ z_l=\frac{z_2+z_n}{2} =\frac14(b+2a+1)z_1-\frac{i\sqrt3}{4}(b-1)z_1. $$
Теперь найдём вектор $$\overrightarrow{AK}$$ и $$\overrightarrow{AL}$$:
$$ \overrightarrow{AK}=z_k-z_1=\frac14(a+2b-3)z_1+\frac{i\sqrt3}{4}(a-1)z_1, $$
$$ \overrightarrow{AL}=z_l-z_1=\frac14(b+2a-3)z_1-\frac{i\sqrt3}{4}(b-1)z_1. $$
Из этих выражений следует, что
$$ \overrightarrow{AK}=\left(\frac12+\frac{\sqrt3}{2}i\right)\overrightarrow{AL}. $$
Значит, угол между векторами $$\overrightarrow{AK}$$ и $$\overrightarrow{AL}$$ равен $$60^\circ$$, а их длины равны:
$$ |AK|=|AL|. $$
Следовательно, треугольник $$AKL$$ равносторонний.
Ответ
Точки $$A$$, $$K$$ и $$L$$ являются вершинами равностороннего треугольника.
