Упр.15.28 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)
- На сторонах $$BC$$ и $$AC$$ треугольника $$ABC$$ во внешнюю сторону построены равносторонние треугольники $$BCK$$ и $$CAM$$. Найдите угол между прямыми $$BM$$ и $$AK$$ и докажите, что $$BM=AK$$.
Обозначим точки треугольника комплексными числами: $$A=z_1,\quad B=z_2,\quad C=z_3.$$
Так как треугольники $$BCK$$ и $$CAM$$ равносторонние и построены во внешнюю сторону, то
$$\overrightarrow{AM}=\left(\frac12-\frac{\sqrt3}{2}i\right)\overrightarrow{AC},\qquad \overrightarrow{BK}=\left(\frac12+\frac{\sqrt3}{2}i\right)\overrightarrow{BC}.$$
Тогда
$$z_m-z_1=\left(\frac12-\frac{\sqrt3}{2}i\right)(z_3-z_1),$$
откуда
$$z_m=\frac12 z_3-\frac{\sqrt3}{2}iz_3+\frac{\sqrt3}{2}iz_1+z_1-\frac12 z_1.$$
Следовательно,
$$\overrightarrow{BM}=z_m-z_2=\frac12 z_3+\frac12 z_1-\frac{\sqrt3}{2}iz_3+\frac{\sqrt3}{2}iz_1-z_2.$$
Аналогично для точки $$K$$:
$$z_k-z_2=\left(\frac12+\frac{\sqrt3}{2}i\right)(z_3-z_2),$$
откуда
$$z_k=\frac12 z_3-\frac12 z_2+\frac{\sqrt3}{2}iz_3-\frac{\sqrt3}{2}iz_2+z_2.$$
Тогда
$$\overrightarrow{AK}=z_k-z_1=\frac12 z_3+\frac12 z_2+\frac{\sqrt3}{2}iz_3-\frac{\sqrt3}{2}iz_2-z_1.$$
Найдём отношение векторов:
$$\frac{\overrightarrow{BM}}{\overrightarrow{AK}} = \frac{\frac12 z_3+\frac12 z_1-\frac{\sqrt3}{2}iz_3+\frac{\sqrt3}{2}iz_1-z_2} {\frac12 z_3+\frac12 z_2+\frac{\sqrt3}{2}iz_3-\frac{\sqrt3}{2}iz_2-z_1} = -\frac12-\frac{\sqrt3}{2}i.$$
Значит, угол между прямыми $$BM$$ и $$AK$$ равен аргументу этого числа:
$$\cos \alpha=-\frac12,\qquad \sin \alpha=-\frac{\sqrt3}{2}.$$
Отсюда
$$\alpha=120^\circ.$$
Так как модуль множителя равен $$1$$, то
$$|BM|=|AK|.$$
Ответ
$$120^\circ,\quad BM=AK.$$
