Упр.15.27 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

На сторонах $$AB$$ и $$AC$$ треугольника $$ABC$$ во внешнюю сторону построены квадраты $$ABNM$$ и $$ACQP$$. Докажите, что $$MC$$ перпендикулярно $$BP$$.

Пусть точки треугольника заданы комплексными числами:

$$A=z_1,\quad B=z_2,\quad C=z_3.$$

Так как на сторонах $$AB$$ и $$AC$$ построены квадраты во внешнюю сторону, то

$$\overrightarrow{AM}=i\overrightarrow{AB},\qquad \overrightarrow{AP}=i\overrightarrow{AC}.$$

Тогда

$$z_m-z_1=i(z_2-z_1),$$

откуда

$$z_m=iz_2-iz_1+z_1.$$

Следовательно,

$$\overrightarrow{MC}=z_3-z_m=z_3-iz_2+iz_1-z_1.$$

Аналогично для точки $$P$$:

$$z_p-z_1=i(z_3-z_1),$$

откуда

$$z_p=iz_3-iz_1+z_1.$$

Тогда

$$\overrightarrow{BP}=z_p-z_2=iz_3-iz_1+z_1-z_2.$$

Теперь найдём вектор, перпендикулярный $$\overrightarrow{BP}$$. Умножение на $$i$$ соответствует повороту на $$90^\circ$$, поэтому

$$i\overrightarrow{BP}=i(iz_3-iz_1+z_1-z_2)=-z_3+z_1+iz_1-iz_2.$$

С учётом направления векторов получаем, что

$$\overrightarrow{MC}=i\overrightarrow{BP}.$$

Значит, векторы $$\overrightarrow{MC}$$ и $$\overrightarrow{BP}$$ перпендикулярны.

Ответ

$$MC\perp BP.$$