Упр.15.25 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

В четырёхугольнике $$ABCD$$ точки $$M$$ и $$N$$ — середины сторон $$AB$$ и $$CD$$ соответственно. Точка $$K$$ — середина отрезка $$MN$$. Медианы треугольника $$BCD$$ пересекаются в точке $$P$$. Докажите, что точки $$A$$, $$K$$ и $$P$$ лежат на одной прямой.

Обозначим радиус-векторы точек A, B, C, D через $$\vec a,\ \vec b,\ \vec c,\ \vec d.$$

Так как M и N — середины сторон $$AB$$ и $$CD,$$ то

$$\vec m=\frac{\vec a+\vec b}{2}, \qquad \vec n=\frac{\vec c+\vec d}{2}.$$

Точка K — середина отрезка $$MN,$$ значит

$$\vec k=\frac{\vec m+\vec n}{2}=\frac{\vec a+\vec b+\vec c+\vec d}{4}.$$

Точка P — точка пересечения медиан треугольника $$BCD,$$ то есть его центр тяжести. Поэтому

$$\vec p=\frac{\vec b+\vec c+\vec d}{3}.$$

Рассмотрим векторы $$\overrightarrow{AK}$$ и $$\overrightarrow{AP}:$$

$$\overrightarrow{AK}=\vec k-\vec a=\frac{\vec b+\vec c+\vec d-3\vec a}{4},$$

$$\overrightarrow{AP}=\vec p-\vec a=\frac{\vec b+\vec c+\vec d-3\vec a}{3}.$$

Получаем

$$\overrightarrow{AK}=\frac34\,\overrightarrow{AP}.$$

Следовательно, векторы $$\overrightarrow{AK}$$ и $$\overrightarrow{AP}$$ коллинеарны, значит точки A, K и P лежат на одной прямой.

Ответ

Точки A, K и P лежат на одной прямой.