Упр.15.22 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1. Докажите равенство $$C(51; 0)-C(51; 2)+C(51; 4)-C(51; 6)+\dots+C(51; 48)-C(51; 50)=-2^{25}.$$

По биному Ньютона:

$$(1+i)^{51}=C_{51}^0+C_{51}^1i+C_{51}^2i^2+C_{51}^3i^3+\dots+C_{51}^{50}i^{50}+C_{51}^{51}i^{51}.$$

Так как $$i^2=-1,$$ то члены с чётными степенями $$i$$ дают действительную часть, а с нечётными — мнимую. Поэтому

$$\operatorname{Re}(1+i)^{51}=C_{51}^0-C_{51}^2+C_{51}^4-C_{51}^6+\dots+C_{51}^{48}-C_{51}^{50}.$$

С другой стороны, по формуле Муавра:

$$(1+i)^{51}=(\sqrt2)^{51}\left(\cos\frac{51\pi}{4}+i\sin\frac{51\pi}{4}\right).$$

Упростим угол:

$$\frac{51\pi}{4}=12\pi+\frac{3\pi}{4},$$

значит

$$\cos\frac{51\pi}{4}=\cos\frac{3\pi}{4}=-\frac{\sqrt2}{2}.$$

Тогда

$$\operatorname{Re}(1+i)^{51}=(\sqrt2)^{51}\cdot\left(-\frac{\sqrt2}{2}\right) =2^{25}\cdot(-1)=-2^{25}.$$

Следовательно,

$$C_{51}^0-C_{51}^2+C_{51}^4-C_{51}^6+\dots+C_{51}^{48}-C_{51}^{50}=-2^{25}.$$

Ответ

$$-2^{25}$$