Упр.15.2 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Найдите произведение комплексных чисел $$z_1$$ и $$z_2$$, если:

1. $$z_1=6\left(\cos\frac{3\pi}{4}+i\sin\frac{3\pi}{4}\right),\quad z_2=2\left(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}\right)$$;
2. $$z_1=7\left(\cos\frac{1}{3}+i\sin\frac{1}{3}\right),\quad z_2=3\left(\cos\left(-\frac{1}{4}\right)+i\sin\left(-\frac{1}{4}\right)\right)$$;
3. $$z_1=-3\left(\cos\frac{\pi}{12}+i\sin\frac{\pi}{12}\right),\quad z_2=-4\left(\cos\frac{3\pi}{4}+i\sin\frac{3\pi}{4}\right)$$.

1. $$z_1=6\left(\cos \frac{3\pi}{4}+i\sin \frac{3\pi}{4}\right),\quad z_2=2\left(\cos \frac{\pi}{4}+i\sin \frac{\pi}{4}\right)$$

   При умножении комплексных чисел в тригонометрической форме перемножаются модули и складываются аргументы:

   $$r=6\cdot 2=12,$$
   $$\varphi=\frac{3\pi}{4}+\frac{\pi}{4}=\pi.$$
   $$z=z_1z_2=12(\cos \pi+i\sin \pi)=12(-1+0i)=-12.$$

2. $$z_1=7\left(\cos \frac13+i\sin \frac13\right),\quad z_2=3\left(\cos \left(-\frac14\right)+i\sin \left(-\frac14\right)\right)$$
   $$r=7\cdot 3=21,$$
   $$\varphi=\frac13-\frac14=\frac{4-3}{12}=\frac{1}{12}.$$
   $$z=z_1z_2=21\left(\cos \frac{1}{12}+i\sin \frac{1}{12}\right).$$
3. $$z_1=-3\left(\cos \frac{\pi}{12}+i\sin \frac{\pi}{12}\right),\quad z_2=-4\left(\cos \frac{3\pi}{4}+i\sin \frac{3\pi}{4}\right)$$

   Заменим отрицательные модули положительными, прибавив к аргументу $$\pi$$:

   $$z_1=3\left(\cos \frac{11\pi}{12}+i\sin \frac{11\pi}{12}\right),\quad z_2=4\left(\cos \frac{7\pi}{4}+i\sin \frac{7\pi}{4}\right).$$
   $$r=3\cdot 4=12,$$
   $$\varphi=\frac{11\pi}{12}+\frac{7\pi}{4}=\frac{11\pi+21\pi}{12}=\frac{32\pi}{12}=\frac{8\pi}{3}.$$
   $$z=12\left(\cos \frac{8\pi}{3}+i\sin \frac{8\pi}{3}\right)=12\left(-\frac12+i\frac{\sqrt3}{2}\right)=-6+6i\sqrt3.$$

Ответ

1) $$-12$$; 2) $$21\left(\cos \frac{1}{12}+i\sin \frac{1}{12}\right)$$; 3) $$-6+6i\sqrt3$$.