Упр.15.13 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 15.13. Пусть e_0, e_1, …, e_(n-1) — корни n-й степени из числа 1. Найдите произведение e_0·e_1·…·e_(n-1).

Подробный ответ

Корни $$n$$-й степени из числа $$1$$ имеют вид

$$e_k=\cos \frac{2\pi k}{n}+i\sin \frac{2\pi k}{n}, \quad k=0,1,\dots,n-1.$$

Тогда их произведение равно

$$ e_0e_1\cdots e_{n-1} = \prod_{k=0}^{n-1}\left(\cos \frac{2\pi k}{n}+i\sin \frac{2\pi k}{n}\right). $$

Сумма аргументов этих чисел:

$$ 0+\frac{2\pi}{n}+\frac{4\pi}{n}+\cdots+\frac{2\pi(n-1)}{n} = \frac{2\pi}{n}(0+1+\cdots+(n-1)). $$

Используем формулу суммы арифметической прогрессии:

$$ 0+1+\cdots+(n-1)=\frac{n(n-1)}{2}. $$

Тогда

$$ \frac{2\pi}{n}\cdot \frac{n(n-1)}{2}=\pi(n-1). $$

Следовательно, произведение равно