Упр.15.1 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1. $$z_1=2\left(\cos\frac{\pi}{6}+i\sin\frac{\pi}{6}\right),\quad z_2=3\left(\cos\frac{\pi}{12}+i\sin\frac{\pi}{12}\right).$$
   Тогда
   $$|z_1z_2|=2\cdot 3=6,$$
   $$\arg(z_1z_2)=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{12}=\frac{\pi}{4}.$$
   Следовательно,
   $$z_1z_2=6\left(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}\right)=6\left(\frac{\sqrt2}{2}+i\frac{\sqrt2}{2}\right)=3\sqrt2+3i\sqrt2.$$
2. $$z_1=5\left(\cos\left(-\frac{\pi}{16}\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}{16}\right)\right),\quad z_2=\cos 1+i\sin 1.$$
   Тогда
   $$|z_1z_2|=5\cdot 1=5,$$
   $$\arg(z_1z_2)=-\frac{\pi}{16}+1=1-\frac{\pi}{16}.$$
   Значит,
   $$z_1z_2=5\left(\cos\left(1-\frac{\pi}{16}\right)+i\sin\left(1-\frac{\pi}{16}\right)\right).$$
3. $$z_1=4\left(\cos\frac{\pi}{8}-i\sin\frac{\pi}{8}\right)=4\left(\cos\left(-\frac{\pi}{8}\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}{8}\right)\right),$$
   $$z_2=-2\left(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}\right)=2\left(\cos\frac{5\pi}{4}+i\sin\frac{5\pi}{4}\right).$$
   Тогда
   $$|z_1z_2|=4\cdot 2=8,$$
   $$\arg(z_1z_2)=-\frac{\pi}{8}+\frac{5\pi}{4}=\frac{9\pi}{8}.$$
   Следовательно,
   $$z_1z_2=8\left(\cos\frac{9\pi}{8}+i\sin\frac{9\pi}{8}\right).$$
4. $$z_1=\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3},\quad z_2=\sqrt3+i.$$
   Найдём тригонометрическую форму числа $$z_2$$:
   $$|z_2|=\sqrt{(\sqrt3)^2+1^2}=\sqrt4=2,$$
   $$\cos\varphi=\frac{\sqrt3}{2},\quad \sin\varphi=\frac12,$$
   значит,
   $$z_2=2\left(\cos\frac{\pi}{6}+i\sin\frac{\pi}{6}\right).$$
   Тогда
   $$|z_1z_2|=1\cdot 2=2,$$
   $$\arg(z_1z_2)=\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{2}.$$
   Поэтому
   $$z_1z_2=2\left(\cos\frac{\pi}{2}+i\sin\frac{\pi}{2}\right)=2i.$$

Ответ

1) $$3\sqrt2+3i\sqrt2$$;
2) $$5\left(\cos\left(1-\frac{\pi}{16}\right)+i\sin\left(1-\frac{\pi}{16}\right)\right)$$;
3) $$8\left(\cos\frac{9\pi}{8}+i\sin\frac{9\pi}{8}\right)$$;
4) $$2i$$.