Упр.14.24 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1. Изобразите на комплексной плоскости все числа $$z$$, удовлетворяющие условию:
   
   1) $$\operatorname{Re}(1/z)-\operatorname{Im}(/z)=1/4$$;
   
   2) $$(1-i)(!z)=(1+i)z$$.

Пусть $$z=x+yi,$$ тогда $$\frac{1}{z}=\frac{x-yi}{x^2+y^2}.$$

1. Рассмотрим условие

   $$\operatorname{Re}\frac{1}{z}-\operatorname{Im}\frac{1}{z}=\frac14.$$

   Тогда

   $$\frac{x}{x^2+y^2}-\left(-\frac{y}{x^2+y^2}\right)=\frac14,$$

   то есть

   $$\frac{x+y}{x^2+y^2}=\frac14.$$

   Умножим на $$4(x^2+y^2)$$:

   $$4x+4y=x^2+y^2.$$

   Приведём к каноническому виду:

   $$x^2-4x+y^2-4y=0,$$

   $$\left(x-2\right)^2+\left(y-2\right)^2=8.$$

   Это окружность с центром $$\left(2,2\right)$$ и радиусом $$2\sqrt2.$$

2. Рассмотрим условие

   $$\left(1-i\right)\overline{z}=\left(1+i\right)z.$$

   Пусть $$z=x+yi,$$ тогда $$\overline{z}=x-yi.$$ Подставим:

   $$\left(1-i\right)\left(x-yi\right)=\left(1+i\right)\left(x+yi\right).$$

   Раскроем скобки:

   $$x-yi-xi-y=x+yi+xi-y.$$

   Сравним действительные и мнимые части:

   $$-2x\,i=2y\,i,$$

   откуда

   $$y=-x.$$

   Это прямая, проходящая через начало координат с угловым коэффициентом $$-1.$$

Ответ

1) Окружность $$\left(x-2\right)^2+\left(y-2\right)^2=8.$$

2) Прямая $$y=-x.$$