Упр.14.22 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1. Представьте в тригонометрической форме число $$1-\cos\varphi+i\sin\varphi$$, если: 1) $$\varphi\in(0;\pi)$$; 2) $$\varphi\in(-\pi;0)$$.

Найдём модуль числа

$$z=1-\cos\varphi+i\sin\varphi.$$

Имеем

$$r=\sqrt{(1-\cos\varphi)^2+\sin^2\varphi} =\sqrt{1-2\cos\varphi+\cos^2\varphi+\sin^2\varphi} =\sqrt{2-2\cos\varphi}.$$

По формуле $$1-\cos\varphi=2\sin^2\frac{\varphi}{2}$$ получаем

$$r=\sqrt{4\sin^2\frac{\varphi}{2}}=2\left|\sin\frac{\varphi}{2}\right|.$$

1) Если $$\varphi\in(0;\pi),$$ то $$\sin\frac{\varphi}{2}>0,$$ значит

$$r=2\sin\frac{\varphi}{2}.$$

Кроме того,

$$1-\cos\varphi=2\sin^2\frac{\varphi}{2}, \qquad \sin\varphi=2\sin\frac{\varphi}{2}\cos\frac{\varphi}{2}.$$

Тогда

$$z=2\sin\frac{\varphi}{2}\left(\sin\frac{\varphi}{2}+i\cos\frac{\varphi}{2}\right).$$

Так как

$$\sin\frac{\varphi}{2}=\cos\left(\frac{\pi}{2}-\frac{\varphi}{2}\right), \qquad \cos\frac{\varphi}{2}=\sin\left(\frac{\pi}{2}-\frac{\varphi}{2}\right),$$

то

$$z=2\sin\frac{\varphi}{2}\left(\cos\left(\frac{\pi}{2}-\frac{\varphi}{2}\right)+ i\sin\left(\frac{\pi}{2}-\frac{\varphi}{2}\right)\right).$$

2) Если $$\varphi\in(-\pi;0),$$ то $$\sin\frac{\varphi}{2}<0,$$ значит

$$r=-2\sin\frac{\varphi}{2}.$$

Тогда

$$z=-2\sin\frac{\varphi}{2}\left(-\sin\frac{\varphi}{2}-i\cos\frac{\varphi}{2}\right).$$

Поскольку

$$-\sin\frac{\varphi}{2}=\cos\left(\frac{3\pi}{2}-\frac{\varphi}{2}\right), \qquad -\cos\frac{\varphi}{2}=\sin\left(\frac{3\pi}{2}-\frac{\varphi}{2}\right),$$

получаем

$$z=-2\sin\frac{\varphi}{2}\left(\cos\left(\frac{3\pi}{2}-\frac{\varphi}{2}\right)+ i\sin\left(\frac{3\pi}{2}-\frac{\varphi}{2}\right)\right).$$

Ответ

1) $$1-\cos\varphi+i\sin\varphi=2\sin\frac{\varphi}{2}\left(\cos\left(\frac{\pi}{2}-\frac{\varphi}{2}\right)+i\sin\left(\frac{\pi}{2}-\frac{\varphi}{2}\right)\right), \quad \varphi\in(0;\pi).$$

2) $$1-\cos\varphi+i\sin\varphi=-2\sin\frac{\varphi}{2}\left(\cos\left(\frac{3\pi}{2}-\frac{\varphi}{2}\right)+i\sin\left(\frac{3\pi}{2}-\frac{\varphi}{2}\right)\right), \quad \varphi\in(-\pi;0).$$