Упр.14.17 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1. На комплексной плоскости отметили точки $$A(z_1)$$ и $$B(z_2)$$. Найдите комплексную координату такой точки $$C$$ отрезка $$AB$$, что $$AC:CB=m:n$$.

Пусть точка C делит отрезок AB в отношении $$AC:CB=m:n.$$ Тогда её комплексная координата находится по формуле деления отрезка:

$$z_C=\frac{n z_1+m z_2}{m+n}.$$

Проверим через векторную запись. Вектор

$$\overrightarrow{AB}=z_2-z_1.$$

Тогда

$$\overrightarrow{AC}=\frac{m}{m+n}\overrightarrow{AB}=\frac{m(z_2-z_1)}{m+n}.$$

Следовательно,

$$z_C=z_1+\overrightarrow{AC}=z_1+\frac{m(z_2-z_1)}{m+n}=\frac{n z_1+m z_2}{m+n}.$$

Ответ

$$z_C=\frac{n z_1+m z_2}{m+n}.$$