Упр.14.15 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Докажите, что если $$\varphi$$ — аргумент комплексного числа $$z$$, то $$-\varphi$$ — аргумент комплексного числа $$\frac{1}{z}$$.

Пусть $$z=r(\cos \varphi+i\sin \varphi),$$ где $$r=|z|>0.$$ Тогда

$$\frac{1}{z}=\frac{1}{r(\cos \varphi+i\sin \varphi)}=\frac{\cos \varphi-i\sin \varphi}{r(\cos^2\varphi+\sin^2\varphi)}=\frac{1}{r}(\cos \varphi-i\sin \varphi).$$

С другой стороны,

$$\cos(-\varphi)=\cos \varphi,\qquad \sin(-\varphi)=-\sin \varphi,$$

поэтому

$$\frac{1}{z}=\frac{1}{r}\bigl(\cos(-\varphi)+i\sin(-\varphi)\bigr).$$

Значит, число $$\frac{1}{z}$$ имеет аргумент $$-\varphi.$$

Ответ

Если $$\varphi$$ — аргумент комплексного числа $$z,$$ то $$-\varphi$$ — аргумент комплексного числа $$\frac{1}{z}.$$