Упр.14.13 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Запишите в тригонометрической форме комплексное число:

1) $$5\left(\cos\left(-\frac{19\pi}{5}\right)+i\sin\left(\frac{19\pi}{5}\right)\right)$$; 3) $$\sin\left(\frac{\pi}{8}\right)+i\cos\left(\frac{\pi}{8}\right)$$; 2) $$7\left(\cos\left(\frac{7\pi}{29}\right)-i\sin\left(\frac{7\pi}{29}\right)\right)$$; 4) $$-3\left(\cos\left(\frac{2\pi}{11}\right)+i\sin\left(\frac{2\pi}{11}\right)\right)$$.

Используем свойства тригонометрической формы комплексного числа:

$$r(\cos \varphi+i\sin \varphi)=r(\cos(\varphi+2\pi k)+i\sin(\varphi+2\pi k)), \quad k\in \mathbb{Z}.$$

Также учитываем, что

$$\cos(-\alpha)=\cos \alpha,\qquad \sin(-\alpha)=-\sin \alpha.$$

1. $$5\left(\cos\left(-\frac{19\pi}{5}\right)+i\sin\left(\frac{19\pi}{5}\right)\right) =5\left(\cos\frac{19\pi}{5}+i\sin\frac{19\pi}{5}\right).$$

2. $$7\left(\cos\frac{7\pi}{29}-i\sin\frac{7\pi}{29}\right) =7\left(\cos\frac{7\pi}{29}+i\sin\left(-\frac{7\pi}{29}\right)\right).$$

3. $$\sin\frac{\pi}{8}+i\cos\frac{\pi}{8} =\cos\frac{3\pi}{8}+i\sin\frac{3\pi}{8}.$$

4. $$-3\left(\cos\frac{2\pi}{11}+i\sin\frac{2\pi}{11}\right) =3\left(\cos\frac{13\pi}{11}+i\sin\frac{13\pi}{11}\right).$$

Ответ

1) $$5\left(\cos\frac{19\pi}{5}+i\sin\frac{19\pi}{5}\right);$$
2) $$7\left(\cos\frac{7\pi}{29}+i\sin\left(-\frac{7\pi}{29}\right)\right);$$
3) $$\cos\frac{3\pi}{8}+i\sin\frac{3\pi}{8};$$
4) $$3\left(\cos\frac{13\pi}{11}+i\sin\frac{13\pi}{11}\right).$$