Упр.14.12 ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

1) A(x, 2)=20; 2) A(x, 5)=18·A(x-2, 4);
3) (A(x, 3)+3A(x, 2))/P(x+1)=1/2.

1. $$A_x^2=20$$

   По формуле размещений:

   $$A_x^2=\frac{x!}{(x-2)!}=x(x-1)$$

   Тогда

   $$x(x-1)=20$$

   $$x^2-x-20=0$$

   $$D=1+80=81$$

   $$x_{1,2}=\frac{1\pm 9}{2}$$

   $$x_1=-4,\quad x_2=5$$

   В натуральных числах подходит только $$x=5$$.

2. $$A_x^5=18\cdot A_{x-2}^4$$

   Запишем через факториалы:

   $$\frac{x!}{(x-5)!}=18\cdot \frac{(x-2)!}{(x-6)!}$$

   Сократим:

   $$x(x-1)(x-2)! = 18(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)(x-6)!$$

   Удобнее сразу представить как

   $$x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)=18(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)$$

   При $$x\ge 6$$ сокращаем на $$ (x-2)(x-3)(x-4) $$:

   $$x(x-1)=18(x-5)$$

   $$x^2-x=18x-90$$

   $$x^2-19x+90=0$$

   $$D=361-360=1$$

   $$x_{1,2}=\frac{19\pm 1}{2}$$

   $$x_1=9,\quad x_2=10$$

3. $$\frac{A_x^3+3A_x^2}{P_{x+1}}=\frac12$$

   По формулам:

   $$A_x^3=\frac{x!}{(x-3)!}=x(x-1)(x-2),\qquad A_x^2=\frac{x!}{(x-2)!}=x(x-1),\qquad P_{x+1}=(x+1)!$$

   Тогда

   $$\frac{x(x-1)(x-2)+3x(x-1)}{(x+1)!}=\frac12$$

   $$\frac{x(x-1)\bigl((x-2)+3\bigr)}{(x+1)!}=\frac12$$

   $$\frac{x(x-1)(x+1)}{(x+1)!}=\frac12$$

   $$\frac{x(x-1)(x+1)}{(x+1)x(x-1)(x-2)!}=\frac12$$

   $$\frac{1}{(x-2)!}=\frac12$$

   $$ (x-2)! = 2 $$

   Отсюда $$x-2=2$$, значит $$x=4$$.

Ответ

1) $$5$$; 2) $$9,\,10$$; 3) $$4$$.