Упр.14.11 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Запишите в тригонометрической форме комплексное число:

1. $$-3$$;
2. $$-5i$$;
3. $$-3+3i$$;
4. $$-1+\sqrt{3}i$$;
5. $$2-i$$;
6. $$-2-3i$$;
7. $$(1+3i)^2$$;
8. $$\frac{3-i}{1-i}$$.

1. $$-3$$

   $$r=\sqrt{(-3)^2+0^2}=3$$

   Тогда $$\cos\varphi=-1,\ \sin\varphi=0,$$ значит $$\varphi=\pi+2\pi k.$$

   $$z=3(\cos\pi+i\sin\pi)$$

2. $$-5i$$

   $$r=\sqrt{0^2+(-5)^2}=5$$

   Тогда $$\cos\varphi=0,\ \sin\varphi=-1,$$ значит $$\varphi=\frac{3\pi}{2}+2\pi k.$$

   $$z=5\left(\cos\frac{3\pi}{2}+i\sin\frac{3\pi}{2}\right)$$

3. $$-3+3i$$

   $$r=\sqrt{(-3)^2+3^2}=\sqrt{18}=3\sqrt2$$

   Тогда $$\cos\varphi=-\frac{\sqrt2}{2},\ \sin\varphi=\frac{\sqrt2}{2},$$ значит $$\varphi=\frac{3\pi}{4}+2\pi k.$$

   $$z=3\sqrt2\left(\cos\frac{3\pi}{4}+i\sin\frac{3\pi}{4}\right)$$

4. $$-1+\sqrt3\,i$$

   $$r=\sqrt{(-1)^2+(\sqrt3)^2}=\sqrt4=2$$

   Тогда $$\cos\varphi=-\frac12,\ \sin\varphi=\frac{\sqrt3}{2},$$ значит $$\varphi=\frac{2\pi}{3}+2\pi k.$$

   $$z=2\left(\cos\frac{2\pi}{3}+i\sin\frac{2\pi}{3}\right)$$

5. $$2-i$$

   $$r=\sqrt{2^2+(-1)^2}=\sqrt5$$

   Тогда $$\cos\varphi=\frac{2}{\sqrt5}=\frac{2\sqrt5}{5},\ \sin\varphi=-\frac{1}{\sqrt5}=-\frac{\sqrt5}{5}.$$

   Следовательно,

   $$z=\sqrt5\left(\cos\varphi+i\sin\varphi\right),\quad \cos\varphi=\frac{2\sqrt5}{5},\ \sin\varphi=-\frac{\sqrt5}{5}.$$

6. $$-2-3i$$

   $$r=\sqrt{(-2)^2+(-3)^2}=\sqrt{13}$$

   Тогда $$\cos\varphi=-\frac{2}{\sqrt{13}}=-\frac{2\sqrt{13}}{13},\ \sin\varphi=-\frac{3}{\sqrt{13}}=-\frac{3\sqrt{13}}{13}.$$

   Следовательно,

   $$z=\sqrt{13}\left(\cos\varphi+i\sin\varphi\right),\quad \cos\varphi=-\frac{2\sqrt{13}}{13},\ \sin\varphi=-\frac{3\sqrt{13}}{13}.$$

7. $$\left(1+3i\right)^2=1+6i-9=-8+6i$$

   $$r=\sqrt{(-8)^2+6^2}=\sqrt{100}=10$$

   Тогда $$\cos\varphi=-\frac45,\ \sin\varphi=\frac35,$$ значит $$\varphi=\arccos\left(-\frac45\right)+2\pi k.$$

   $$z=10\left(\cos\varphi+i\sin\varphi\right),\quad \cos\varphi=-\frac45,\ \sin\varphi=\frac35.$$

8. $$\frac{3-i}{1-i}=\frac{(3-i)(1+i)}{(1-i)(1+i)}=\frac{3+3i-i+1}{2}=2+i$$

   $$r=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt5$$

   Тогда $$\cos\varphi=\frac{2}{\sqrt5}=\frac{2\sqrt5}{5},\ \sin\varphi=\frac{1}{\sqrt5}=\frac{\sqrt5}{5}.$$

   Следовательно,

   $$z=\sqrt5\left(\cos\varphi+i\sin\varphi\right),\quad \cos\varphi=\frac{2\sqrt5}{5},\ \sin\varphi=\frac{\sqrt5}{5}.$$

Ответ

1) $$3(\cos\pi+i\sin\pi)$$;
2) $$5\left(\cos\frac{3\pi}{2}+i\sin\frac{3\pi}{2}\right)$$;
3) $$3\sqrt2\left(\cos\frac{3\pi}{4}+i\sin\frac{3\pi}{4}\right)$$;
4) $$2\left(\cos\frac{2\pi}{3}+i\sin\frac{2\pi}{3}\right)$$;
5) $$\sqrt5\left(\cos\varphi+i\sin\varphi\right),\ \cos\varphi=\frac{2\sqrt5}{5},\ \sin\varphi=-\frac{\sqrt5}{5}$$;
6) $$\sqrt{13}\left(\cos\varphi+i\sin\varphi\right),\ \cos\varphi=-\frac{2\sqrt{13}}{13},\ \sin\varphi=-\frac{3\sqrt{13}}{13}$$;
7) $$10\left(\cos\varphi+i\sin\varphi\right),\ \cos\varphi=-\frac45,\ \sin\varphi=\frac35$$;
8) $$\sqrt5\left(\cos\varphi+i\sin\varphi\right),\ \cos\varphi=\frac{2\sqrt5}{5},\ \sin\varphi=\frac{\sqrt5}{5}$$.