Упр.14.11 ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

1) A(x+1, 2)=156; 3) P(x+3)/(A(x, 5)·P(x-5))=720;
2) A(x, x-3)=xP(x-2); 4) P(x+1)/(A(x-1, x-4)·P(3))=210.

1. $$A_{x+1}^2=156$$

   По формуле размещений:

   $$\frac{(x+1)!}{(x-1)!}=156$$

   $$x(x+1)=156$$

   $$x^2+x-156=0$$

   $$D=1+624=625$$

   $$x_{1,2}=\frac{-1\pm25}{2}$$

   $$x_1=-13,\quad x_2=12$$

   Так как $x$ — натуральное число, получаем $$x=12$$.

2. $$A_x^{x-3}=xP_{x-2}$$

   По формулам:

   $$\frac{x!}{3!}=x\cdot(x-2)!$$

   $$\frac{x(x-1)(x-2)!}{6}=x(x-2)!$$

   При $x\ge 3$ можно сократить на $x(x-2)!$:

   $$\frac{x-1}{6}=1$$

   $$x-1=6$$

   $$x=7$$

3. $$\frac{P_{x+3}}{A_x^5\cdot P_{x-5}}=720$$

   Подставим формулы:

   $$\frac{(x+3)!}{x!}\cdot\frac{(x-5)!}{(x-5)!}=720$$

   $$\frac{(x+3)!}{x!}=720$$

   $$ (x+3)(x+2)(x+1)=720$$

   $$x^3+6x^2+11x-714=0$$

   Проверяем целый корень: $$x=7$$.

   Тогда

   $$x^3+6x^2+11x-714=(x-7)(x^2+13x+102)$$

   Квадратное уравнение $$x^2+13x+102=0$$ действительных корней не имеет, значит

   $$x=7$$.

4. $$\frac{P_{x+1}}{A_{x-1}^{x-4}\cdot P_3}=210$$

   По формулам:

   $$\frac{(x+1)!}{\frac{(x-1)!}{3!}\cdot 3!}=210$$

   $$\frac{(x+1)!}{(x-1)!}=210$$

   $$x(x+1)=210$$

   $$x^2+x-210=0$$

   $$D=1+840=841$$

   $$x_{1,2}=\frac{-1\pm29}{2}$$

   $$x_1=-15,\quad x_2=14$$

   Так как $x$ — натуральное число, получаем $$x=14$$.

Ответ

1) 12; 2) 7; 3) 7; 4) 14.