Упр.13.8 ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

1. Докажите неравенство $$3^n>4n+1$$, где $$n\in\mathbb{N}$$, $$n\geq3$$.

Докажем неравенство методом математической индукции.

1) При $$n=3$$ имеем:

$$3^3=27,$$
$$4\cdot 3+1=13.$$

Следовательно, $$3^3>4\cdot 3+1.$$

2) Предположим, что для некоторого $$n=k$$ верно:

$$3^k>4k+1.$$

Докажем, что тогда верно и для $$n=k+1$$:

$$3^{k+1}-(4(k+1)+1)=3\cdot 3^k-4k-5$$

$$=3(3^k-(4k+1))+(8k-2).$$

Так как $$3^k>4k+1,$$ то $$3^k-(4k+1)>0,$$ а при $$k\ge 3$$ имеем $$8k-2>0.$$ Значит,

$$3^{k+1}-(4(k+1)+1)>0,$$

то есть

$$3^{k+1}>4(k+1)+1.$$

Следовательно, неравенство верно для всех $$n\ge 3.$$

Ответ

$$3^n>4n+1,\quad n\ge 3.$$