Упр.13.6 ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

1/(1В·2)+1/(2В·3)+1/(3В·4)+…+1/(n(n+1)), РіРґРµ nв€€N.

Разложим каждый дробный член на разность двух дробей:

$$ \frac{1}{k(k+1)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1} $$

Тогда

$$ \frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\frac{1}{3\cdot 4}+\cdots+\frac{1}{n(n+1)} $$

преобразуется к виду

$$ \left(1-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right)+\cdots+\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right). $$

В этой сумме все промежуточные слагаемые сокращаются, и остаётся

$$ 1-\frac{1}{n+1}=\frac{n}{n+1}. $$

Ответ

$$ \frac{n}{n+1} $$