Упр.13.5 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Найдите действительные числа $$x$$ и $$y$$ из равенства:

1) $$5x-7yi=2+3i$$;

2) $$6x-y^2i=-1-4i$$;

3) $$(x+3y^2i)-(2y-xi)=1+6i$$.

1. Сравним действительную и мнимую части:

   $$5x-7yi=2+3i$$

   $$5x=2,\quad -7y=3$$

   $$x=\frac{2}{5},\quad y=-\frac{3}{7}$$

2. Сравним действительную и мнимую части:

   $$6x-y^2i=-1-4i$$

   $$6x=-1,\quad -y^2=-4$$

   $$x=-\frac{1}{6},\quad y^2=4,\quad y=\pm 2$$

3. Раскроем скобки и приравняем действительную и мнимую части:

   $$\left(x+3y^2i\right)-\left(2y-xi\right)=1+6i$$

   $$x-2y+\left(3y^2+x\right)i=1+6i$$

   $$x-2y=1,\quad 3y^2+x=6$$

   Из первого уравнения:

   $$x=1+2y$$

   Подставим во второе:

   $$3y^2+1+2y=6$$

   $$3y^2+2y-5=0$$

   $$D=2^2-4\cdot 3\cdot(-5)=64$$

   $$y=\frac{-2\pm 8}{6}$$

   $$y_1=1,\quad y_2=-\frac{5}{3}$$

   Тогда

   $$x_1=1+2\cdot 1=3,\quad x_2=1+2\cdot\left(-\frac{5}{3}\right)=-\frac{7}{3}$$

Ответ

1) $$x=\frac{2}{5},\ y=-\frac{3}{7}$$

2) $$x=-\frac{1}{6},\ y=\pm 2$$

3) $$(x,y)=\left(3,1\right),\ \left(-\frac{7}{3},-\frac{5}{3}\right)$$