Упр.13.5 ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

1/(1В·3)+1/(3В·5)+1/(5В·7)+…+1/((2n-1)(2n+1)), РіРґРµ nв€€N.

Разложим каждый член суммы на разность дробей:

$$ \frac{1}{(2k-1)(2k+1)}=\frac12\left(\frac{1}{2k-1}-\frac{1}{2k+1}\right). $$

Тогда

$$ \frac{1}{1\cdot 3}+\frac{1}{3\cdot 5}+\frac{1}{5\cdot 7}+\cdots+\frac{1}{(2n-1)(2n+1)} $$

равна

$$ \frac12\left(\frac11-\frac13+\frac13-\frac15+\frac15-\frac17+\cdots+\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}\right). $$

Внутренние слагаемые сокращаются, остаётся

$$ \frac12\left(1-\frac{1}{2n+1}\right) =\frac12\cdot\frac{2n}{2n+1} =\frac{n}{2n+1}. $$

Ответ

$$\frac{n}{2n+1}$$