Упр.13.45 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Докажите, что если $$x+yi=(a+bi)^n$$, то $$x-yi=(a-bi)^n$$.

Рассмотрим комплексно-сопряжённое число к равенству $$x+yi=(a+bi)^n.$$

Так как при сопряжении произведение и степень переходят в сопряжённые выражения, то

$$x-yi=\overline{x+yi}=\overline{(a+bi)^n}=(\overline{a+bi})^n=(a-bi)^n.$$

Следовательно, если $$x+yi=(a+bi)^n,$$ то обязательно $$x-yi=(a-bi)^n.$$

Ответ

$$x-yi=(a-bi)^n.$$