Упр.13.40 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

Докажите, что:

1) $$|z_1z_2|=|z_1|\cdot|z_2|$$; 2) $$\left|\frac{z_1}{z_2}\right|=\frac{|z_1|}{|z_2|}$$.

Подробный ответ

Пусть $$z_1=a_1+b_1i,$$ $$z_2=a_2+b_2i.$$ Тогда

$$z_1z_2=(a_1+b_1i)(a_2+b_2i)=(a_1a_2-b_1b_2)+(a_1b_2+a_2b_1)i.$$

Следовательно,

$$|z_1z_2|=\sqrt{(a_1a_2-b_1b_2)^2+(a_1b_2+a_2b_1)^2}.$$

Раскроем скобки:

$$(a_1a_2-b_1b_2)^2+(a_1b_2+a_2b_1)^2$$
$$=a_1^2a_2^2-2a_1a_2b_1b_2+b_1^2b_2^2+a_1^2b_2^2+2a_1a_2b_1b_2+a_2^2b_1^2$$
$$=a_1^2a_2^2+a_1^2b_2^2+a_2^2b_1^2+b_1^2b_2^2 =(a_1^2+b_1^2)(a_2^2+b_2^2).$$

Тогда

$$|z_1z_2|=\sqrt{(a_1^2+b_1^2)(a_2^2+b_2^2)}=|z_1|\cdot|z_2|.$$

Первое равенство доказано.

Теперь докажем второе. Пусть $$z_2\neq 0.$$ Тогда

$$\left|\frac{z_1}{z_2}\right|=\frac{|z_1|}{|z_2|}.$$

Действительно,

$$\left|\frac{z_1}{z_2}\right|=\left|\frac{z_1\overline{z_2}}{z_2\overline{z_2}}\right|=\left|\frac{z_1\overline{z_2}}{|z_2|^2}\right|=\frac{|z_1\overline{z_2}|}{|z_2|^2}.$$

По уже доказанному свойству

$$|z_1\overline{z_2}|=|z_1|\cdot|\overline{z_2}|=|z_1|\cdot|z_2|.$$

Значит,

$$\left|\frac{z_1}{z_2}\right|=\frac{|z_1|\cdot|z_2|}{|z_2|^2}=\frac{|z_1|}{|z_2|}.$$

Что и требовалось доказать.