Упр.13.38 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Докажите, что $$\frac{z_1}{z_2}=\frac{z_1}{z_2}$$.

Пусть $$z_1=a_1+b_1i,$$ $$z_2=a_2+b_2i.$$ Тогда

$$\frac{z_1}{z_2}=\frac{a_1+b_1i}{a_2+b_2i}.$$

Умножим числитель и знаменатель на сопряжённое к знаменателю число $$a_2-b_2i$$:

$$\frac{a_1+b_1i}{a_2+b_2i}=\frac{(a_1+b_1i)(a_2-b_2i)}{a_2^2+b_2^2}.$$

Раскроем скобки в числителе:

$$\frac{(a_1+b_1i)(a_2-b_2i)}{a_2^2+b_2^2}=\frac{a_1a_2-a_1b_2i+b_1a_2i-b_1b_2i^2}{a_2^2+b_2^2}.$$

Так как $$i^2=-1,$$ получаем

$$\frac{a_1a_2+b_1b_2+(b_1a_2-a_1b_2)i}{a_2^2+b_2^2}.$$

С другой стороны,

$$\frac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}}=\frac{a_1-b_1i}{a_2-b_2i}.$$

Умножим числитель и знаменатель на $$a_2+b_2i$$:

$$\frac{a_1-b_1i}{a_2-b_2i}=\frac{(a_1-b_1i)(a_2+b_2i)}{a_2^2+b_2^2}.$$

Раскроем скобки:

$$\frac{(a_1-b_1i)(a_2+b_2i)}{a_2^2+b_2^2}=\frac{a_1a_2+a_1b_2i-b_1a_2i-b_1b_2i^2}{a_2^2+b_2^2}.$$

После упрощения:

$$\frac{a_1a_2+b_1b_2+(a_1b_2-b_1a_2)i}{a_2^2+b_2^2}.$$

Но это и есть число, сопряжённое к $$\frac{z_1}{z_2}$$, то есть

$$\overline{\frac{z_1}{z_2}}=\frac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}}.$$

Следовательно,

$$\overline{\left(\frac{z_1}{z_2}\right)}=\frac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}}.$$

Ответ

$$\overline{\left(\frac{z_1}{z_2}\right)}=\frac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}}.$$