Упр.13.37 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)
- Докажите неравенство $$|z_1-z_2|>\left||z_1|-|z_2|\right|$$.
Пусть $$z_1=a_1+b_1i,\quad z_2=a_2+b_2i.$$ Тогда
$$|z_1-z_2|^2=(a_1-a_2)^2+(b_1-b_2)^2,$$
а также
$$\bigl||z_1|-|z_2|\bigr|^2=\left(\sqrt{a_1^2+b_1^2}-\sqrt{a_2^2+b_2^2}\right)^2.$$
Докажем более сильное неравенство
$$|z_1-z_2|^2\ge \bigl(|z_1|-|z_2|\bigr)^2.$$
Для этого рассмотрим разность:
$$\begin{aligned} &|z_1-z_2|^2-\bigl(|z_1|-|z_2|\bigr)^2 \\ &=(a_1-a_2)^2+(b_1-b_2)^2-\left(\sqrt{a_1^2+b_1^2}-\sqrt{a_2^2+b_2^2}\right)^2 \\ &=a_1^2-2a_1a_2+a_2^2+b_1^2-2b_1b_2+b_2^2 \\ &\quad -\left(a_1^2+b_1^2+a_2^2+b_2^2-2\sqrt{(a_1^2+b_1^2)(a_2^2+b_2^2)}\right) \\ &=2\left(\sqrt{(a_1^2+b_1^2)(a_2^2+b_2^2)}-a_1a_2-b_1b_2\right). \end{aligned}$$
Остаётся показать, что
$$a_1a_2+b_1b_2\le \sqrt{(a_1^2+b_1^2)(a_2^2+b_2^2)}.$$
Возведём обе части в квадрат:
$$\begin{aligned} &(a_1^2+b_1^2)(a_2^2+b_2^2)-(a_1a_2+b_1b_2)^2 \\ &=a_1^2b_2^2-2a_1a_2b_1b_2+b_1^2a_2^2 \\ &=(a_1b_2-b_1a_2)^2\ge 0. \end{aligned}$$
Значит,
$$a_1a_2+b_1b_2\le \sqrt{(a_1^2+b_1^2)(a_2^2+b_2^2)},$$
и потому
$$|z_1-z_2|^2\ge \bigl(|z_1|-|z_2|\bigr)^2.$$
Следовательно,
$$|z_1-z_2|\ge \bigl||z_1|-|z_2|\bigr|.$$
Ответ: $$|z_1-z_2|\ge \bigl||z_1|-|z_2|\bigr|.$$
