Упр.13.36 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1. Докажите равенство $$|z_1-z_2|^2+|z_1+z_2|^2=2(|z_1|^2+|z_2|^2)$$.

Пусть $$z_1=a_1+b_1i,$$ $$z_2=a_2+b_2i.$$ Тогда

$$|z_1-z_2|^2=|(a_1-a_2)+(b_1-b_2)i|^2=(a_1-a_2)^2+(b_1-b_2)^2,$$

$$|z_1+z_2|^2=|(a_1+a_2)+(b_1+b_2)i|^2=(a_1+a_2)^2+(b_1+b_2)^2.$$

Сложим эти выражения:

$$\begin{aligned} |z_1-z_2|^2+|z_1+z_2|^2 &=(a_1-a_2)^2+(b_1-b_2)^2+(a_1+a_2)^2+(b_1+b_2)^2 \\ &=2a_1^2+2a_2^2+2b_1^2+2b_2^2 \\ &=2(a_1^2+b_1^2+a_2^2+b_2^2). \end{aligned}$$

Так как $$|z_1|^2=a_1^2+b_1^2$$ и $$|z_2|^2=a_2^2+b_2^2,$$ получаем

$$|z_1-z_2|^2+|z_1+z_2|^2=2(|z_1|^2+|z_2|^2).$$

Ответ

$$|z_1-z_2|^2+|z_1+z_2|^2=2(|z_1|^2+|z_2|^2).$$