Упр.13.35 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) |z_1+z_2| < |z_1|+|z_2|; 2) |z_1+z_2+...+z_3| < |z_1|+|z_2|+...+|z_n|.

1) Пусть $$z_1=a_1+b_1i,$$ $$z_2=a_2+b_2i.$$ Тогда

$$|z_1+z_2|=\sqrt{(a_1+a_2)^2+(b_1+b_2)^2}.$$

Возведём в квадрат обе части неравенства $$|z_1+z_2|\le |z_1|+|z_2|$$:

$$ (a_1+a_2)^2+(b_1+b_2)^2 \le \left(\sqrt{a_1^2+b_1^2}+\sqrt{a_2^2+b_2^2}\right)^2. $$

После раскрытия скобок получаем

$$ a_1^2+2a_1a_2+a_2^2+b_1^2+2b_1b_2+b_2^2 \le a_1^2+b_1^2+a_2^2+b_2^2+2\sqrt{(a_1^2+b_1^2)(a_2^2+b_2^2)}. $$

Сокращая одинаковые слагаемые, имеем

$$ a_1a_2+b_1b_2 \le \sqrt{(a_1^2+b_1^2)(a_2^2+b_2^2)}. $$

Теперь

$$ (a_1b_2-b_1a_2)^2 \ge 0, $$

откуда

$$ a_1^2b_2^2-2a_1a_2b_1b_2+b_1^2a_2^2 \ge 0, $$

то есть

$$ (a_1a_2+b_1b_2)^2 \le (a_1^2+b_1^2)(a_2^2+b_2^2). $$

Следовательно,

$$|z_1+z_2|\le |z_1|+|z_2|.$$

2) Докажем неравенство для суммы по индукции, последовательно применяя уже доказанное неравенство для двух комплексных чисел:

$$ |z_1+z_2+\dots+z_n| \le |z_1|+|z_2+\dots+z_n| \le |z_1|+|z_2|+|z_3+\dots+z_n| \le \dots \le |z_1|+|z_2|+\dots+|z_n|. $$

Тем самым

$$|z_1+z_2+\dots+z_n|\le |z_1|+|z_2|+\dots+|z_n|.$$

Ответ

$$|z_1+z_2|\le |z_1|+|z_2|,\qquad |z_1+z_2+\dots+z_n|\le |z_1|+|z_2|+\dots+|z_n|.$$