Упр.13.35 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1. Докажите неравенство: 1) $$|z_1+z_2|<|z_1|+|z_2|$$; 2) $$|z_1+z_2+\dots+z_3|<|z_1|+|z_2|+\dots+|z_n|$$.

1) Пусть $$z_1=a_1+b_1i,$$ $$z_2=a_2+b_2i.$$ Тогда

$$|z_1+z_2|=\sqrt{(a_1+a_2)^2+(b_1+b_2)^2}.$$

Возведём в квадрат обе части неравенства $$|z_1+z_2|\le |z_1|+|z_2|$$:

$$(a_1+a_2)^2+(b_1+b_2)^2 \le \left(\sqrt{a_1^2+b_1^2}+\sqrt{a_2^2+b_2^2}\right)^2.$$

После раскрытия скобок получаем

$$a_1^2+2a_1a_2+a_2^2+b_1^2+2b_1b_2+b_2^2 \le a_1^2+b_1^2+a_2^2+b_2^2+2\sqrt{(a_1^2+b_1^2)(a_2^2+b_2^2)}.$$

Сокращая одинаковые слагаемые, имеем

$$a_1a_2+b_1b_2 \le \sqrt{(a_1^2+b_1^2)(a_2^2+b_2^2)}.$$

Теперь

$$(a_1b_2-b_1a_2)^2 \ge 0,$$

откуда

$$a_1^2b_2^2-2a_1a_2b_1b_2+b_1^2a_2^2 \ge 0,$$

то есть

$$(a_1a_2+b_1b_2)^2 \le (a_1^2+b_1^2)(a_2^2+b_2^2).$$

Следовательно,

$$|z_1+z_2|\le |z_1|+|z_2|.$$

2) Докажем неравенство для суммы по индукции, последовательно применяя уже доказанное неравенство для двух комплексных чисел:

$$|z_1+z_2+\dots+z_n| \le |z_1|+|z_2+\dots+z_n| \le |z_1|+|z_2|+|z_3+\dots+z_n| \le \dots \le |z_1|+|z_2|+\dots+|z_n|.$$

Тем самым

$$|z_1+z_2+\dots+z_n|\le |z_1|+|z_2|+\dots+|z_n|.$$

Ответ

$$|z_1+z_2|\le |z_1|+|z_2|,\qquad |z_1+z_2+\dots+z_n|\le |z_1|+|z_2|+\dots+|z_n|.$$