Упр.13.34 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Дано: $$z_1=1+i,\quad z_2=3-2i.$$

Вычислите:

1. $$\frac{z_1+z_2}{z_2^2}$$;
2. $$\frac{z_1-z_2}{!z_1-z_2}$$;
3. $$\frac{(z_1+z_2)^2}{z_2}$$.

1. $$z_1+\overline{z_2}=(1-i)+(3-2i)=4-3i,$$

   $$\left(\overline{z_2}\right)^2=(3+2i)^2=9+12i-4=5+12i.$$

   Тогда

   $$\frac{z_1+\overline{z_2}}{(\overline{z_2})^2} =\frac{4-3i}{5+12i} =\frac{(4-3i)(5-12i)}{(5+12i)(5-12i)} =\frac{20-48i-15i+36i^2}{25+144} =\frac{-16-63i}{169}.$$

2. $$z_1-\overline{z_2}=(1-i)-(3-2i)=i-2,$$

   $$\overline{z_1}-z_2=(1+i)-(3+2i)=-2-i.$$

   Тогда

   $$\frac{z_1-\overline{z_2}}{\overline{z_1}-z_2} =\frac{i-2}{-2-i} =\frac{(i-2)(i-2)}{(-2-i)(i-2)} =\frac{-1-4i+4}{-1-4} =\frac{3-4i}{5}.$$

3. $$\overline{z_1}+z_2=(1+i)+(3+2i)=4+3i,$$

   $$\frac{(\overline{z_1}+z_2)^2}{z_2} =\frac{(4+3i)^2}{3+2i} =\frac{16+24i-9}{3+2i} =\frac{7+24i}{3+2i}.$$

   Умножим числитель и знаменатель на сопряжённое число $$3-2i$$:

   $$\frac{7+24i}{3+2i} =\frac{(7+24i)(3-2i)}{(3+2i)(3-2i)} =\frac{21-14i+72i+48}{9+4} =\frac{69+58i}{13}.$$

Ответ

1) $$-\frac{16}{169}-\frac{63}{169}i$$; 2) $$\frac{3}{5}-\frac{4}{5}i$$; 3) $$\frac{69}{13}+\frac{58}{13}i$$.