Упр.13.33 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Дано: $$z_1=1+im$$, $$z_2=3-2i$$. Вычислите:

1. $$\frac{z_1}{z_2}$$;
2. $$\frac{z_1}{z_1+z_2}$$;
3. $$\frac{z_1-z_2}{z_2}$$.

Пусть $$z_1=1+i,$$ $$z_2=3-2i.$$

1. Найдём значение выражения $$\frac{\overline{z_1}}{z_2}.$$

   Так как $$\overline{z_1}=1-i,$$ то

   $$\frac{\overline{z_1}}{z_2} = \frac{1-i}{3-2i} = \frac{(1-i)(3+2i)}{(3-2i)(3+2i)} = \frac{3+2i-3i+2}{9+4} = \frac{5-i}{13} = \frac{5}{13}-\frac{1}{13}i.$$

2. Найдём значение выражения $$\frac{z_1}{\overline{z_1}+z_2}.$$

   Имеем $$\overline{z_1}=1-i,$$ значит

   $$\frac{z_1}{\overline{z_1}+z_2} = \frac{1+i}{(1-i)+(3-2i)} = \frac{1+i}{4-3i} = \frac{(1+i)(4+3i)}{(4-3i)(4+3i)} = \frac{4+3i+4i-3}{16+9} = \frac{1+7i}{25} = \frac{1}{25}+\frac{7}{25}i.$$

3. Найдём значение выражения $$\frac{z_1-z_2}{z_2}.$$

   $$\frac{z_1-z_2}{z_2} = \frac{(1+i)-(3-2i)}{3-2i} = \frac{-2+3i}{3-2i} = \frac{(-2+3i)(3+2i)}{(3-2i)(3+2i)} = \frac{-6-4i+9i+6i^2}{9+4} = \frac{-12+5i}{13}.$$

Ответ

$$\frac{5}{13}-\frac{1}{13}i,\quad \frac{1}{25}+\frac{7}{25}i,\quad \frac{-12+5i}{13}.$$