Упр.13.26 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

1) z^2=-i; 2) z^2=15-8i.

Подробный ответ

Пусть $$z=a+bi,$$ где $$a,b\in \mathbb{R}.$$ Тогда

$$z^2=-i.$$
Имеем
$$ (a+bi)^2=-i $$
$$ a^2+2abi-b^2=-i $$
Сравнивая действительную и мнимую части, получаем систему:
$$ \begin{cases} a^2-b^2=0,\\ 2ab=-1. \end{cases} $$
Из $$a^2-b^2=0$$ следует $$a=\pm b.$$
Если $$a=b,$$ то $$2a^2=-1,$$ что невозможно для действительного $$a.$$
Значит, $$a=-b.$$ Тогда
$$ 2a(-a)=-1 \Rightarrow -2a^2=-1 \Rightarrow a^2=\frac12. $$
Следовательно,
$$ a=\pm \frac{1}{\sqrt2}, \qquad b=\mp \frac{1}{\sqrt2}. $$
Отсюда
$$ z=\frac{1}{\sqrt2}-\frac{1}{\sqrt2}i \quad \text{или} \quad z=-\frac{1}{\sqrt2}+\frac{1}{\sqrt2}i. $$
$$z^2=15-8i.$$
Пусть снова $$z=a+bi.$$ Тогда
$$ (a+bi)^2=15-8i $$
$$ a^2+2abi-b^2=15-8i. $$
Сравнивая действительную и мнимую части, получаем
$$ \begin{cases} a^2-b^2=15,\\ 2ab=-8. \end{cases} $$
Из второго уравнения
$$ b=-\frac{4}{a}, \qquad a\ne 0. $$
Подставим в первое:
$$ a^2-\frac{16}{a^2}=15. $$
Умножим на $$a^2$$:
$$ a^4-15a^2-16=0. $$
Обозначим $$t=a^2.$$ Тогда
$$ t^2-15t-16=0. $$
$$ D=15^2+4\cdot 16=289, $$
$$ t=\frac{15\pm 17}{2}. $$
Получаем
$$ t_1=16,\qquad t_2=-1. $$
Так как $$t=a^2\ge 0,$$ то $$a^2=16,$$ значит $$a=\pm 4.$$ Тогда
$$ b=-\frac{4}{a}, $$
откуда при $$a=4$$ имеем $$b=-1,$$ а при $$a=-4$$ имеем $$b=1.$$
Следовательно,
$$ z=4-i \quad \text{или} \quad z=-4+i. $$