Упр.13.18 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Докажите, что равенство $$z=z$$ справедливо тогда и только тогда, когда $$z$$ — действительное число.

Пусть $$z=a+bi,$$ где $$a,b \in \mathbb{R}.$$ Тогда

$$\overline{z}=a-bi.$$

Равенство $$\overline{z}=z$$ означает, что

$$a-bi=a+bi.$$

Перенесём слагаемые:

$$-bi=bi,$$

$$2bi=0.$$

Так как $$i \neq 0,$$ получаем

$$b=0.$$

Следовательно, $$z=a,$$ то есть $$z$$ — действительное число.

Обратно, если $$z$$ — действительное число, то $$b=0,$$ и тогда

$$z=a,\qquad \overline{z}=a,$$

значит, $$\overline{z}=z.$$

Итак, равенство $$\overline{z}=z$$ справедливо тогда и только тогда, когда $$z$$ — действительное число.

Ответ

$$\overline{z}=z \iff z \in \mathbb{R}.$$