Упр.13.16 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Докажите, что для всех $$z\in\mathbb{C}$$ выполняется равенство: 1) $$\overline{\overline{z}}=z$$; 2) $$\left|\overline{z}\right|=\left|z\right|$$.

Пусть $$z=a+bi,$$ где $$a,b\in \mathbb{R}.$$ Тогда сопряжённое число имеет вид $$\overline{z}=a-bi.$$

1. Докажем, что $$\overline{\overline{z}}=z.$$

   Действительно,

   $$\overline{\overline{z}}=\overline{a-bi}=a+bi=z.$$

2. Докажем, что $$|z|=|\overline{z}|.$$

   По формуле модуля комплексного числа имеем

   $$|z|=|a+bi|=\sqrt{a^2+b^2},$$

   а для сопряжённого числа

   $$|\overline{z}|=|a-bi|=\sqrt{a^2+(-b)^2}=\sqrt{a^2+b^2}.$$

   Следовательно, $$|z|=|\overline{z}|.$$

Ответ

$$\overline{\overline{z}}=z,\qquad |z|=|\overline{z}|.$$