Упр.12.5 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Выведите формулу для вычисления объёма конуса.

Пусть $$h$$ — высота конуса, $$x_0$$ — расстояние от вершины до сечения на высоте $$x_0$$, а $$S$$ — площадь основания.

Тогда по подобию сечений

$$\frac{S(x_0)}{S}=\frac{x_0^2}{h^2},$$

откуда

$$S(x_0)=\frac{x_0^2}{h^2}S.$$

Объём конуса найдём как сумму площадей сечений:

$$V=\int_0^h S(x)\,dx=\int_0^h \frac{S}{h^2}x^2\,dx.$$

Вычислим интеграл:

$$V=\frac{S}{h^2}\int_0^h x^2\,dx=\frac{S}{h^2}\left(\frac{x^3}{3}\right)\Bigg|_0^h=\frac{S}{h^2}\cdot \frac{h^3}{3}=\frac13 Sh.$$

Так как $$S=\pi R^2,$$ то

$$V=\frac13 \pi R^2 h.$$

Ответ

$$V=\frac13 \pi R^2 h.$$