Упр.12.5 ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Полонский 11 класс, Просвещение: 12.5. Выведите формулу для вычисления объёма конуса.

Подробный ответ

Пусть $$h$$ — высота конуса, $$R$$ — радиус его основания. Рассмотрим сечение конуса на расстоянии $$x$$ от вершины. Радиус этого сечения обозначим через $$x_0$$.

Из подобия треугольников получаем:

$$\frac{x_0}{h}=\frac{R}{h}$$

Следовательно,

$$x_0=\frac{R}{h}x.$$

Площадь сечения на расстоянии $$x$$ от вершины равна

$$S(x)=\pi x_0^2=\pi \left(\frac{R}{h}x\right)^2=\frac{\pi R^2}{h^2}x^2.$$

Тогда объём конуса:

$$V=\int_0^h S(x)\,dx=\int_0^h \frac{\pi R^2}{h^2}x^2\,dx.$$

Вычислим интеграл:

$$V=\frac{\pi R^2}{h^2}\int_0^h x^2\,dx=\frac{\pi R^2}{h^2}\left(\frac{x^3}{3}\right)\Bigg|_0^h=\frac{\pi R^2}{h^2}\cdot \frac{h^3}{3}=\frac{1}{3}\pi R^2h.$$