Упр.12.4 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Докажите, что объём шара радиуса $$R$$ равен $$\frac{4}{3}\pi R^3$$.

Пусть $$R$$ — радиус шара. Тогда уравнение образующей сечения имеет вид

$$y=\sqrt{R^2-x^2}, \qquad x\in[-R;R].$$

Объём шара найдём как объём тела вращения:

$$V=\pi\int_{-R}^{R} y^2\,dx=\pi\int_{-R}^{R}(R^2-x^2)\,dx.$$

Вычислим интеграл:

$$V=\pi\left(R^2x-\frac{x^3}{3}\right)\Bigg|_{-R}^{R}.$$

Подставим пределы интегрирования:

$$V=\pi\left(R^3-\frac{R^3}{3}\right)-\pi\left(-R^3+\frac{R^3}{3}\right).$$

Упростим:

$$V=\pi\left(\frac{2R^3}{3}+\frac{2R^3}{3}\right)=\frac{4}{3}\pi R^3.$$

Тем самым доказано, что объём шара радиуса $$R$$ равен $$\frac{4}{3}\pi R^3$$.

Ответ

$$V=\frac{4}{3}\pi R^3.$$