Упр.12.4 ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Полонский 11 класс, Просвещение: 12.4. Докажите, что объём шара радиуса R равен (4/3)?R^3.

Подробный ответ

Пусть радиус шара равен $$R$$. Рассмотрим сечение шара плоскостью, проходящей через его центр. Тогда получаем окружность радиуса $$R$$, задаваемую уравнением

$$y=\sqrt{R^2-x^2}, \quad -R\le x\le R.$$

Объём шара равен объёму тела вращения этой полуокружности вокруг оси $$Ox$$:

$$V=\pi\int\limits_{-R}^{R}\left(\sqrt{R^2-x^2}\right)^2\,dx=\pi\int\limits_{-R}^{R}(R^2-x^2)\,dx.$$

Вычислим интеграл:

$$ V=\pi\left(R^2x-\frac{x^3}{3}\right)\Bigg|_{-R}^{R} $$

$$ V=\pi\left(R^3-\frac{R^3}{3}\right)-\pi\left(-R^3+\frac{R^3}{3}\right) $$

$$ V=\pi\left(\frac{2R^3}{3}+\frac{2R^3}{3}\right)=\frac{4}{3}\pi R^3. $$

Тем самым доказано, что объём шара радиуса $$R$$ равен $$\frac{4}{3}\pi R^3$$.