Упр.12.3 ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Полонский 11 класс, Просвещение: 12.3. В шаре радиуса R на расстоянии R/2 от центра шара проведена плоскость, которая разбивает шар на две части. Найдите объёмы этих частей.

Подробный ответ

Рассмотрим сечение шара плоскостью, проходящей на расстоянии $$\frac{R}{2}$$ от центра. Тогда объёмы частей шара найдём как объёмы тел вращения по формуле

$$V=\pi \int y^2\,dx,$$

где для шара $$y=\sqrt{R^2-x^2}$$, то есть

$$y^2=R^2-x^2.$$

Плоскость делит шар на две части, соответствующие промежуткам $$x\in\left[-R,\frac{R}{2}\right]$$ и $$x\in\left[\frac{R}{2},R\right].$$

1) Объём первой части:

$$ V_1=\pi \int_{-R}^{R/2} (R^2-x^2)\,dx =\pi \left(R^2x-\frac{x^3}{3}\right)\Bigg|_{-R}^{R/2}. $$

$$ V_1=\pi \left(\frac{R^3}{2}-\frac{R^3}{24}+R^3-\frac{R^3}{3}\right) =\pi \left(\frac{9}{8}R^3\right) =\frac{9}{8}\pi R^3. $$

2) Объём второй части:

$$ V_2=\pi \int_{R/2}^{R} (R^2-x^2)\,dx =\pi \left(R^2x-\frac{x^3}{3}\right)\Bigg|_{R/2}^{R}. $$

$$ V_2=\pi \left(R^3-\frac{R^3}{3}-\frac{R^3}{2}+\frac{R^3}{24}\right) =\pi \left(\frac{5}{24}R^3\right) =\frac{5}{24}\pi R^3. $$