Упр.12.2 ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

1) y=v(cos(x)), y=0, x=-?/4, x=?/4;
2) y=x-x^2, y=0;
3) y=vx, y=1, x=2.

1. При вращении вокруг оси абсцисс используем формулу

   $$V=\pi \int_a^b y^2\,dx.$$

   1) $$y=\sqrt{\cos x},\quad y=0,\quad x=-\frac{\pi}{4},\quad x=\frac{\pi}{4}.$$

   Тогда

   $$ V=\pi \int_{-\pi/4}^{\pi/4} (\sqrt{\cos x})^2\,dx =\pi \int_{-\pi/4}^{\pi/4} \cos x\,dx. $$

   $$ V=\pi \sin x \Big|_{-\pi/4}^{\pi/4} =\pi\left(\sin \frac{\pi}{4}-\sin\left(-\frac{\pi}{4}\right)\right) =\pi\left(\frac{\sqrt2}{2}+\frac{\sqrt2}{2}\right) =\pi\sqrt2. $$

2. 2) $$y=x-x^2,\quad y=0.$$

   Найдём точки пересечения с осью абсцисс:

   $$x-x^2=0,$$

   $$x(1-x)=0,$$

   $$x_1=0,\quad x_2=1.$$

   Тогда

   $$ V=\pi \int_0^1 (x-x^2)^2\,dx =\pi \int_0^1 (x^2-2x^3+x^4)\,dx. $$

   $$ V=\pi \left(\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{2}+\frac{x^5}{5}\right)\Bigg|_0^1 =\pi\left(\frac13-\frac12+\frac15\right) =\frac{\pi}{30}. $$

3. 3) $$y=\sqrt{x},\quad y=1,\quad x=2.$$

   Точка пересечения графиков $$y=\sqrt{x}$$ и $$y=1$$:

   $$\sqrt{x}=1,\quad x=1.$$

   Объём тела:

   $$ V=\pi \int_1^2 \left((\sqrt{x})^2-1^2\right)\,dx =\pi \int_1^2 (x-1)\,dx. $$

   $$ V=\pi \left(\frac{x^2}{2}-x\right)\Bigg|_1^2 =\pi\left(\left(2-2\right)-\left(\frac12-1\right)\right) =\frac{\pi}{2}. $$

Ответ

1) $$\pi\sqrt2$$; 2) $$\frac{\pi}{30}$$; 3) $$\frac{\pi}{2}$$.